الهندسه اللا اقليديه

[شموع الامل]

تعديل هلبرت
اثر تواجد ثغرات في بناء هندسة اقليدس فقد وضع العالم العظيم التعديل الشهير والاصيل وذلك من خلال مجاضرات القاها في احدى الجامعات خلال العام 1898
والجدير بالذكر ان تعديل هلبرت اتسم بروح النظريه اليونانيه للمعرفه مع تفصيلات دقيقه
اما المسميات (الكلمات غير المعرفه) التي اعتمدها هلبرت فهي النقطه والخط المستقيم والمستوى والتطابق ويقع على(التواجد والوقوع) وبين (البينيه) اما المسلمات فقد جزئت كالتالي
المجموعه الاولى
مسلمات التواجد والوقوع
1-لأي نقطتين ا & ب يوجد خط مستقيم يمر بهما
2-لأي نقطتين مختلفتين ا & ب فان المستقيم ل المار بهما وحيد
3-يوجد نقطتان على الاقل على اي مستقيم ويوجد ثلاث نقاط على الاقل لاتقع جميعها على مستقيم معلوم
4-يمر من ثلاث نقاط ليست على استقامه واحده مستوى وعلى اي مستوى يوجد على الاقل نقطه واحده
5-المستوى المار من ثلاث نقاط يكون وحيداوليست النقاط على استقامه واحده
6-اذا كانت النقطتان ا & ب نقطتين على المستقيم ل الواقع في المستوى ص فان جميع نقاط المستقيم ل تقع على المستوى ص
7-اذا اشترك المستويان ص & س في نقطه أ فانهما يشتركان في نقطه اخرى على الاقل
(اي لايشترك المستويان الا في مستقيم)
يوجد على الاقل اربع نقاط لاتقع جميعها في مستوى واحد

ملاحظه
سنستخدم الرمز ت ليدل على مسلمات التواجد والوقوع فمثلا ت-1 يعني المسلمه الاولى من مسلمات التواجد والوقوع
نظريه
اذا كان ل & ك مستقيمان مختلفان فانه يوجد نقطه واحده مشتركه بينهما على الاكثر
البرهان
نفرض ان ل لايساوي ك اي مختلفين
اذا كان المستقيمان لايشتركان في اي نقطه او في نقطه واحده فقد ثبت المطلوب
لكن ليكن يشتركان في نقطتين ا & ب
هذا يعني من ت-2 ان المستقيم ل هو المستقيم ك
وهذا ينقض الفرض
وبالتالي يثبت صحة النظريه
نظريه
المستويان المختلفان يشتركا في خط مستقيم او لا يشتركا باي نقطه
للبرهان استخدم ت-5 & ت-6 & ت-7
نظريه
لكل خط مستقيم ل توجد نقطه واحده على الاقل في المستوى ص لاتقع على المستقيم ل
البرهان
ان ت-3 تعني وجود خطين مستقيمين مختلفين ل & ك في ص يوجد نقطتان مختلفتان ا & ب على الخط ل.
لايمكن ان تقع كل من ا & ب على الخط ك .............النظريه الاولى بالاعلى
اذن توجد نقطه واحده على الاقل لاتقع على المستقيم ل

[شموع الامل]

المجموعه الثانيه
مسلمات الترتيب(البينيه)
تصف هذه المسلمات العلاقه بين النقاط والخط والمستقيم ويعبر عن ذلك بكلمة بين
1-اذا وقعت النقطه ب بين النقطتين ا,ج فان ا ,ب,ج ثلاث نقاط مختلفه وعلى استقامه واحده
2-اذا كانت النقطه ب بين ا,ج فان ب بين ج,ا
3- اذا كانت ا ,ج نقطتين مختلفتين فانه يوجد نقطه ب بحيث ان ب تقع بين ا,ج يوجد نقطه د بحيث ان ج تقع بين ا,د
4- اي ثلاث نقاط مختلفه وعلى استقامه واحده فان واحده منها فقط تقع بين النقطتين الاخريين
5- اذا توفرت اربع نقاط مختلفه وعلى استقامه واحده فانه يمكن تسميتها ا,ب,ج,د
حيث ب تقع بين ا,ج كذلك ب بين ا,د والنقطه ج بين ا,د كذلك ج بين ب,د
6- مسلمة باش
اذا كانت ا,ب,ج ثلاث نقاط ليست على استقامه واحده وكان ل خطا مستقيما لايمر باي من هذه النقاط الثلاثه واذا قطع ل القطعه المستقيمه اب في نقطه ما فانه يقطع اج او ب ج في نقطه داخليه

ملاحظتان
1- اذا كانت النقطه ب تقع بين ا,ج فسنرمز لذلك بالرمز (ا ب ج)
2- الرمز ب-1 يعني مثلا المسلمه الاولى من مسلمات البينيه


نظريه
اذا كانت هـ نقطه على المستقيم ل فان هـ تجزيء جميع نقاط ذلك الخط الى صفي تكافؤ-ارجو من الجميع التفاعل مع هذه النظريه ومقارنتها بموضوع المجموعات المتكافئه-وان اي نقطتين تكون من نفس الصف اذا وفقط اذا لم تكن هـ بينهما

[شموع الامل]

المجموعه الثالثه
مسلمات التطابق
وهذه توضح العلاقه بين النقاطن من حيث تساوي او عدم تساوي البعد بينهما
1-اذا كانت أ ب قطعه مستقيمه ج نقطه على الخط ل فانه يوجد على كل شعاع من شعاعي ل المشتركان في ج نقطه م بحيث ان أب = ج م
او اب تطابق ج م
2-أب = أب
3- اذا كانت أب=ج م فان ج م =أب
4-اذا كانت اب= ج م & ج م = دص فان اب =دص
5-اذا كانت اب, ب ج قطعتين مستقيمتين على ل وكانت هـ م , م ت قطعتين مستقيمتين على الخط ص
وكانت اب=هـ م & ب ج =م ت فان أ ج =هـ ت
ونقول عن قطعتين مستقيمتين انهما غير متساويتين اذا وجد قطعه محتواه في احدهما تكافيء الاخرى اي اذا وجد تطبيق تقابل بين مجموعة النقاط لخط مستقيم مع مجموعه جزئيه من مستقيم اخر
مجموعة مسلمات التطابق للزوايا
هي بالضبط مسلمات الاتصال مع استبدال النقاط بزوايا

>>>>>> يتبع >>>>>>>

[شموع الامل]

المجموعه الرابعه
مسلمات الاتصال
لاحظنا من مجموعة مسلمات البينيه انه اذا كان لدينا قطعتين مستقيمتين فإن احدهما تكون اكبر او اصغر او مساويه للاخرى
لكن هذه العلاقه غير كافيه لقياس اطوال القطع المستقيمه
1-مسلمة ارخميدس
اذا كانت أب,ج د قطعتين مستقيمتين فانه يوجد عدد محدود من النقاط أ1,أ2,أ3 ..........,أ ن
على أب بحيث تكون القطع المستقيمه أ1أ2 , أ2أ3,........أ ن-1أ ن
مطابقه للقطعه ج د والنقطه ب واقعه بين أ,أ ن بحيث يكون
ظول أ أن = عدد صحيح ن مضروب في ج د
ان المعنى المحسوس لهذه المسلمه هو انه اذا اخترنا القطعه ج د اعتباطيا بحيث ان ج د هو وحدة الطول فان اي قطعه اخرى يكون لها طولا محدودا بالنسبه لهذه القطعه وهي بدورها تكافيء العباره التاليه
اذا كان م هو طول أ أ1 وكان س هو طول أ ب وكان س & م اكبر من الصفر فانه يوجد عدد صحيح موجب ن بحيث ان ن*م >س
2-مسلمة كانتور
اذا كان على الخط المستقيم ل مجموعه قطع مستقيمه أ1ب1, أ2ب2......
بحيث ان القطع المستقيمه التاليه تقع داخل سابقتها واذا كان هنالك عدد صحيح ن بحيث ان طول القطعه المستقيمه أ ن ب ن اصغر من اي قطعه مستقيمه اخرى فانه يوجد نقطه س تنتمي الى ل وتقع داخل كل من القطع المستقيمه المذكوره
وفي ضوء هاتين المسلمتين يمكن تعريف نظام الاحداثيات في المستوى وانه لمن الممكن استبدال المسلمتين السابقتين بمسلمه مكافئه لهما تسمى مسلمة ديدكند
(اذا كانت نقاط الخط المستقيم ل هي اتحاد المجموعتين غير الخاليتيين س & ص
بحيث ان س تقاطع ص =فاي او المجموعه الخاليه
فانه يوجد نقطه وحيد م بحيث ان (أ م ب) اذا وفقط اذا أ تنتمي الى س & ب تنتمي الى ص
والنقطه م لاتساوي اي من النقاط أ & ب
ان مسلمة ديدكند تؤكد على اتصال الخط المستقيم حيث لايوجد به ثغرات بل انه لاي نقطه م تنتمي الى الخط ل وأي عدد حقيقي موجب س فانه يوجد نقطتان وحيدتان أس , أ- س
تنتميان للخط ل بحيث ان ( أس م أ- س) وان القطعتين وان القطعتين يسار م ويمين م متساويتان وطول كل منهما يساوي العدد الحقيقي س
ولعله من نتائج مسلمة ديدكند مايعرف بمبدأ الاتصال الدائري

<<<<<< يتبع >>>>>>>

[شموع الامل]

المجموعه الخامسه
مسلمة التوازي
يتوازى المستقيمان اذا وفقط اذا وقعا في نفس المستوى ولم يشتركا بأي نقطه
فرضية بلايفير
اذا كان ل خطا مستقيما معلوما هـ نقطه خارجيه فإنه يمكن رسم مستقيم واحد وواحد فقط يمر بالنقطه هـ ويوازي ل



المجموعه السادسه
مسلمة الاكتمال((من غير الممكن اضافة اي نقاط او خطوط مستقيمه غير ماذكر في هذا البناء دون ان تتعارض مع احدى مسلماته))

اتمنى ان اكون قد افدتكم في هذا الموضوع ( نقل بتصرف بسيط مني )

[mįšş«şŏşό«]

مشكوره ع الموضوع اختي شموع الامل..

[رومنسيه منسيه]

نقل رائع ومفيد

أبدعتي إختيارا ونقلا

تقبلي مروري

رومنسيه منسيه

[شموع الامل]

سيده ملفوفه

رومنسيه منسيه

اشكركم على التوجد و المرور

[Wish 2 be better]

مشكـــــــــورة عالموضـــوع ...

[شموع الامل]

العفو اختي

واسعدني مرورك كثيرا